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线代之几何重数&代数重数的理解(2)-矩阵指数的求解

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前言

上一篇聊了一下特征值、特征向量的定义，这一篇来继续说约当标准型和几何重数代数重数的关系，以及矩阵指数如何求解

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正文

如果想要求出矩阵指数，一般有三种方法

方法一

定义法

$$e^{At}=I+At+\frac{1}{2!}A^2t^2+···$$

百分之 99%的解题情况下没用，八股文除外

方法二

拉氏变换法

$$e^{At} = L^{-1}[(sI-A)^{-1}]$$

非常常用，几乎万能就是难算

方法三

将矩阵 A 化为对角标准型或约当标准型

• 如果对应的任意特征值的几何重数 = 代数重数

  那么就选择对角标准型，否则就用约当标准型
  对角标准型相信大家都很熟悉了

  $$e^{At}=P \begin{pmatrix} e^{\lambda_1t} & 0 &0 \\ 0 & e^{\lambda_2t} &0 \\ 0 & ... &e^{\lambda_nt} \end{pmatrix} P^{-1}$$

  其中
  P 为特征子空间的 n 个线性无关的基向量的组合，其中 n 是矩阵 A 的阶数
  
  

• 如果对应的特征值，存在几何重数 $\neq$ 代数重数
  那么就代表不能被化为对角标准型，必须化成约当标准型

  其实也很好理解，因为如果出现几何重数不等于代数重数的情况，也意味着代数重数大于几何重数，几何重数又等于特征子空间的基向量个数，它的 P 就会出现秩$<$阶数的情况，也就是 n 个特征值只解出来小于 n 个的特征向量，也就自然不满足对角化的条件

  对此，要对 A 矩阵进行约当标准型的转化，得求出特征向量与广义特征向量来组成变换矩阵 P
  假设这里是三阶矩阵，$\lambda_1$是 2 重根，P 分解为[p1,p2,p3]，就列 2 个式子去解广义特征向量，即
  $$(\lambda_1I-A)p1=0 \space \normalsize{\textcircled{\scriptsize{1}}}\normalsize\enspace$$ $$(\lambda_1I-A)p2=p1 \normalsize{\textcircled{\scriptsize{2}}}\normalsize\enspace$$

  在式①中解出来的就是重根的特征向量，但是因为几何重数小于代数重数，解出来的特征向量只会有一个，所以要通过②式来求补充的广义特征向量p2，接着继续带入$\lambda_3$来解第三个特征向量，由于$\lambda_3$重根数为1，所以只会解出一个特征向量来

  最后得到变换矩阵P=[p1,p2,p3]

  $$e^{At}=P \begin{pmatrix} e^{\lambda_1t} & te^{\lambda_1t} &0 \\ 0 & e^{\lambda_1t} &0 \\ 0 & 0 &e^{\lambda_2t} \end{pmatrix}P^{-1}$$

  一般形式有点难打，我就不打了，这里只拿特例形式举例子就行

  在这里如果$\lambda_1$和$\lambda_2$是一样的，就要把他们看做一个特征值，只不过带有重根属性的特征值

  我们再来观察变换后的约当块可以发现

  变换后的每一个独特的特征值对应的约当块阶数 = 代数重数
  解出几重根，对应的约当块就有几阶

总结

本篇阐述了关于几何重数、代数重数与约当块之间的联系，并通过对$e^{At}$的第三种求法来引出如何在无法对角化的情况下进行约当对角化，并且对广义特征向量的求法做出了肤浅的阐明

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作者：Onion

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